Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)（2，f（2））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b
（2）可以設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可．

解答：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化為y=

7

4

x-3，當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

，
又f′(x)=a+

b

x2

，于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

，解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．

（2）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，由y′=1+

3

x2

知曲線在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y0=(1+

3

x02

)(x-x0)，即y-(x0-

3

x0

)=(1+

3

x02

)(x-x0)
令x=0，得y=-

6

x0

，從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-

6

x0

)；
令y=x，得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2x₀）；
所以點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|-

6

x0

||2x0|=6．
故曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．

點(diǎn)評(píng)：高考考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及直線方程的相關(guān)知識(shí)
易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算量大，不仔細(xì)而出錯(cuò)．
備考提示：運(yùn)算能力一直是高考考查的能力之一，近年來，對運(yùn)算能力的要求降低了，但對準(zhǔn)確率的要求提高了．