Question

已知.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)；（2）；（3）.

解析試題分析：(1)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程；（2）由求得，得令結(jié)合函數(shù)的定義域求解即可；（3）首先假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，分三種情況研究函數(shù)的單調(diào)性尋找其最小值,是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查.
試題解析：（1）由已知得的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/90/a/fpxay.png" style="vertical-align:middle;" />，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/9/3xpm9.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/7/11l6e4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以                       2分
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
即.                          4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ea/7/srrs5.png" style="vertical-align:middle;" />處有極值，所以，
由（1）知所以
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)在處有極值.                         6分
所以令解得；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1f/7/coijm.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/90/a/fpxay.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的解集為，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為.                         8分
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0c/3/10mlo3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以在上單調(diào)遞減，
，解得（舍去）                   10分
②當(dāng)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，滿足條件.                  12分
③當(dāng)，
所以 上單調(diào)遞減，，
解得，舍去.
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)有最小值3.             14分
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.切線方程；3.導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性；3.函數(shù)的最值.