Question

設(shè)是橢圓上的兩點，點是線段的中點，
線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.
（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；
（2）試判斷是否存在這樣的，使得四點在同一個圓上？并說明理由.

Answer 1

（1）解法一：設(shè)直線的方程為，代入    
整理得      ①
設(shè)，，② 且
由是線段的中點，得，解得，代入②得
所以直線的方程為，即            （5分）
解法二：設(shè)，（點差）則有，
∵是線段的中點，
又在橢圓內(nèi)部，，即，
∴直線的方程為，即
（2）解法一：因為垂直平分，所以直線的方程為，
即，代入橢圓方程，整理得
設(shè)，的中點，
且，
即，由弦長公式得③，
將直線的方程代入橢圓方程得④，
同理可得⑤                （9分）
因為當時，，所以
假設(shè)存在，使四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心。
點到直線的距離⑥，
于是，
故當時，在以為圓心，為半徑的圓上        （12分）

答案