Question

．設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).
（1）確定的取值范圍，并求直線(xiàn)的方程；
（2）試判斷是否存在這樣的，使得四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.

Answer 1

 
（1）解法一：設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入 
整理得     ①
設(shè)，，②
且
由是線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，解得，代入②得
所以直線(xiàn)的方程為，即                     （5分）
解法二：設(shè)，（點(diǎn)差）則有，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174054905439.gif" style="vertical-align:middle;" />是線(xiàn)段的中點(diǎn)，
又在橢圓內(nèi)部，
，即，
所以直線(xiàn)的方程為，即
（1）      解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174055872250.gif" style="vertical-align:middle;" />垂直平分，
（2）      所以直線(xiàn)的方程為，即，代入橢圓方程，整理得
設(shè)，的中點(diǎn)，
且，即，
由弦長(zhǎng)公式得③，
將直線(xiàn)的方程代入橢圓方程得④，
同理可得⑤        （9分）
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以
假設(shè)存在，使四點(diǎn)共圓，則必為圓的直徑，點(diǎn)為圓心。點(diǎn)到直線(xiàn)的距離⑥，
于是，
故當(dāng)時(shí)，在以為圓心，為半徑的圓上            （12分）

略