Question

【題目】筆、墨、紙、硯是中國(guó)獨(dú)有的文書工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時(shí)期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質(zhì)量等級(jí)分類可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品）某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作，年產(chǎn)宣紙10000刀，該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定質(zhì)量等級(jí)，如下表所示：

x的范圍
質(zhì)量等級(jí)	正牌	副牌	廢品

公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀（100張）進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤(rùn)為12元，副牌宣紙的利潤(rùn)為6元，廢品宣紙的利潤(rùn)為-12元.

（1）試估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)；

（2）該公司預(yù)備購(gòu)買一種售價(jià)為100萬元的機(jī)器改進(jìn)生產(chǎn)工藝，這種機(jī)器使用壽命為一年，不影響產(chǎn)量，這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)x服從正態(tài)分布，改進(jìn)工藝后正牌和副牌宣紙的利潤(rùn)都將受到不同程度的影響，觀測(cè)的數(shù)據(jù)如下表所示：

x的范圍
一張宣紙的利潤(rùn)	12	8	8	3
頻率	0.5	0.5	0.5	0.5

將頻率視為概率，請(qǐng)判斷該公司是否應(yīng)該購(gòu)買這種機(jī)器，并說明理由.

附：若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）480萬元；（2）應(yīng)該，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)一張紙的利潤(rùn)為X，由頻率分布直方圖，用頻率估計(jì)概率得X的分布列，根據(jù)求得數(shù)據(jù)的期望，即可估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)；

（2）服從正態(tài)分布，求得、、，設(shè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后一張宣紙的利潤(rùn)為，的取值為12，8，3，，即可求得的分布列為，根據(jù)期望公式，即可求得答案.

（1）設(shè)一張紙的利潤(rùn)為X，由頻率分布直方圖，用頻率估計(jì)概率得X的分布列為：

X	12	6
P	0.4	0.4	0.2

（元）

（元）

估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)為480萬元.

（2）服從正態(tài)分布，

，

，

.

設(shè)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后一張宣紙的利潤(rùn)為，則的取值為12，8，3，

，

，

，

，

的分布列為

Y	12	8	3
P	0.3413	0.4987	0.1574	0.0026

（元）

改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該公司生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)為：（萬元）

，

該公司應(yīng)該購(gòu)買這種機(jī)器.