Question

【題目】已知（）．

（Ⅰ）判斷當(dāng)時(shí)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，（）為兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在定義域上為單調(diào)增函數(shù)；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先利用換元法求出，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

（Ⅱ）根據(jù)極值的定義得到有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>（），

所以，（）．，

當(dāng)時(shí)，，恒成立．

于是，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

（Ⅱ）證明：，

由題設(shè)知，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，

則，即，得

而 ，

又，

故欲證原不等式等價(jià)于證明不等式：

也就是要證明：對(duì)任意，有

令，由于，并且，

當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，則在上為增函數(shù)．

則在上有最大值，即，故原不等式成立．