Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為常數(shù)），且b_n=a_n•a_n+1（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）若{a_n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}和前n項和S_n；
（Ⅱ）當{b_n}是等比數(shù)列時，甲同學說：{a_n}一定是等比數(shù)列； 乙 同學說：{a_n}一定不是等比數(shù)列，請你對甲、乙兩人的判斷正確與否作出解釋．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件求得 b₁=a₁•a₂=a，再由

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

an+1

an-1

=a2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出S_n的值．
（Ⅱ）甲、乙兩個同學的說法都不正確，理由如下：設(shè){b_n}的公比為q，則

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=q，且a≠0，{a_n}為：1，a，q，aq，q²，aq²，…，當q=a²時，{a_n}是等比數(shù)列； 當q≠a²時，{a_n}不是等比數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等比數(shù)列，a₁=1，a₂=a，∴a≠0，an=an-1，又b_n=a_n•a_n+1，
∴b₁=a₁•a₂=a，

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

an+1

an-1

=a2，-----（3分）
即{b_n}是以a為首項，a²為公比的等比數(shù)列．
∴Sn=

n(a=1) -n(a=-1) a(1-a2n) 1-a2 (a≠±1)

．----（5分）
（Ⅱ）甲、乙兩個同學的說法都不正確，理由如下：
設(shè){b_n}的公比為q，則

bn+1

bn

=

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=q，且a≠0．-------（8分）
又a₁=1，a₂=a，a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，
即{a_n}為：1，a，q，aq，q²，aq²，…，
所以當q=a²時，{a_n}是等比數(shù)列； 當q≠a²時，{a_n}不是等比數(shù)列．--------（12分）

點評：本題主要考查等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．