Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）求證:平面平面；

（2）若二面角的正切值為，求與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）計算相關(guān)線段長度，先通過線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即可完成證明；

（2）先根據(jù)二面角的正切值，采用向量方法求解出的長度，

法（一）：采用幾何方法，找到點在平面內(nèi)的射影點，根據(jù)線段長度即可求解出線面角的余弦值；

法（二）：采用向量方法，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的夾角的余弦值即為線面角的正弦值，即可求解出結(jié)果.

（1）依題設(shè)得，，故，故，

又，，故且，故底面，

又平面，因此平面平面；

（2）如圖，作直線平面，以點為原點，

分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則點，，設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

又設(shè)平面的法向量，設(shè)，

則，取，得，

由題設(shè)知，即，解得

（法一）取中點，連接，則平面，

則是與平面所成角，

因為，，故，

因此，此為所求；

（法二）點，故，平面的法向量，

設(shè)與平面所成角為，

則，因此與平面所成角的余弦值為.