Question

（2012•鷹潭模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2an-Sn=1，  n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{a_n}的每兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列{b_n}，在a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求b₂₀₁₂的值；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{b_n}，若b_m=a_n，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）2a_n+1-S_n+1=1與2a_n-S_n=1相減，可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)后，可求得dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，從而可求b₂₀₁₂的值；
（3）依題意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

1

2

[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]-

1

2

nan，考慮到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，則2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1，求出M=（2n-1）2ⁿ+1，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-S₁=1，∴a₁=1．
又2a_n+1-S_n+1=1與2a_n-S_n=1相減得：a_n+1=2a_n，故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以an=2n-1；…（4分）
（2）設(shè)a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)后，這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d_n，則dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，
故b2012=a62+(60-1)•d62=261+59×

261

63

=

61

63

×262．…（9分）
（3）依題意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

3(a1+a2)

2

+

4(a2+a3)

2

+

5(a3+a4)

2

+…+

(n+1)(an-1+an)

2

-(a2+a3+…+an-1)=

1

2

[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]-

1

2

nan，
考慮到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，則2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1
∴2M-M=-2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-a₁+（2n+1）a_n+1
∴M=（2n-1）2ⁿ+1，
所以b1+b2+b3+…+bm=

1

2

M-

1

2

nan=(3n-2)•2n-2+

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解題意，選擇正確的方法是關(guān)鍵．