Question

已知函數(shù)f(x)=(x≠0)，在由正數(shù)組成的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，f(a_n)(n∈N^*)．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)在數(shù)列{b_n}中，對(duì)任意正整數(shù)n，b_n·=1都成立，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，比較S_n與的大�。�

(Ⅲ)在點(diǎn)列A_n(2n,)(n∈N^*)中，是否存在三個(gè)不同點(diǎn)A_k、A_l、A_m，使A_k、A_l、A_m在一條直線上?若存在，寫出一組在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得.

∴,即{}是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.

有=1+(n-1)×4=4n-3

∴a_n＞0,  ∴ 

(Ⅱ)∵

∴=b_n(4n²-1)=1，

∴

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

∴ 

(Ⅲ)點(diǎn)列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共線的三個(gè)點(diǎn).

根據(jù)(Ⅰ)，可得A_n(2n,) (n∈N*),

令x=2n,y=,則y=.(x≥2)

點(diǎn)(x,y)在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，

所以，A_n(2n,)在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，而直線方程與x²-y²=1聯(lián)立組成的方程組最多有兩組不同的解，所以直線與x²-y²=1最多有兩個(gè)交點(diǎn).

所以，點(diǎn)列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共線的三個(gè)點(diǎn).