Question

【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）當時，若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有極值，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求導，得，然后對分成兩類進行分類討論，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）當時，由（I）可知，為函數(shù)的最小值點，分成與兩類，討論的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ），

（1） 若，則在區(qū)間上，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有極值點.

（2）若，令，即，解得，

故在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞減；

在區(qū)間內(nèi),單調(diào)遞增；當時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為,當時，函數(shù)有極小值為.

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）可知，為函數(shù)的最小值點

因為，若函數(shù)在區(qū)間上上存在唯一零點，

則當零點為函數(shù)的極小值點時：

，得.

當零點在極小值點左側(cè)時：，得.

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上上存在唯一零點，

則.