Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的一條切線，交橢圓于另一點(diǎn)P，連接，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，由，，結(jié)合求解.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為或，驗(yàn)證即可. 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，根據(jù)直線與圓相切，得到，設(shè)，，則，聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得 ，然后由兩點(diǎn)間的距離公式，將韋達(dá)定理代入求得即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)闄E圓的離心率為，且過點(diǎn).

所以，，又，

解得，，

所以橢圓C的方程為：.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，依題意，可得直線的方程為或.

若直線：，直線：，可得，，，

則，，所以；

其他情況，由對(duì)稱性，同理可得.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

∵直線與圓相切，

∴圓心O到直線的距離為，即，

設(shè)，，則，

聯(lián)立，消元y，整理得，

則，.

∴，

∵，

，

∴.

∵，

∴.

綜上可知成立.