Question

【題目】已知橢圓：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直線的方程為.

【解析】

（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形，可得和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）由（1）可知橢圓方程，把直線代入橢圓方程，消得，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式表示出，再由韋達(dá)定理和點(diǎn)（由的垂直平分線方程中令x=0求得）到直線距離求得,然后令，解出，再檢驗(yàn)判別式，寫出直線的方程.

（1）依題意得：，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為等邊三角形，設(shè)，，

線段的中點(diǎn)為，則，

把代入

并整理得，，

則，

解得.

又，

所以，，，即.

則直線的方程為，

即，

令，則，即，

所以，又，

即解得，滿足題意.

所以在軸上存在點(diǎn)，使為等邊三角形，且直線的方程為.