Question

（本小題16分）已知各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和

為S_n，且滿足S₄＝2S₂＋8. 

（I）求公差d的值；

（II）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過10，則這樣的數(shù)列至多有多少項(xiàng)；

（III）請(qǐng)直接寫出滿足（2）的項(xiàng)數(shù)最多時(shí)的一個(gè)數(shù)列（不需要給出演算步驟）.

Answer 1

解答

（1）d＝2；……………………………………………………………………………………………4分

（2）考慮到d＝2，且首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過10，所以可用枚舉法研究.

①當(dāng)a₁＝0時(shí)， 0²＋d＋2d＝0＋2＋4≤10，而0²＋d＋2d＋3d＝0＋2＋4＋6＞10，此時(shí)，數(shù)列至多3項(xiàng)；

              ………………………………………………………………………………6分

②當(dāng)a₁＞0時(shí)，可得數(shù)列至多3項(xiàng)；…………………………………………………………9分

③當(dāng)a₁＜0時(shí)，a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d≤10，即a₁²＋3a₁＋2≤0，此時(shí)a₁有解.

而a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d＋a₁＋4d≤10，即a₁²＋4a₁＋10≤0，此時(shí)a₁無解.

所以a₁＜0時(shí)，數(shù)列至多有4項(xiàng). ………………………………………………………………………12分

（3）a₁＝－1時(shí)，數(shù)列為：－1，1，3，5；或a₁＝－2時(shí)，數(shù)列為：－2，0，2，4. …………………16分