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        1. 精英家教網(wǎng)過(guò)圓C:(x-1)2+(y-1)2=1的圓心,作直線分別交x,y正半軸于點(diǎn)A、B,△AOB被圓分成I、II、III、IV四個(gè)部分(如圖),若這四部分圖形面積滿足①SI+SIV=SII+SIII,②SI+SII+SIII=SIV,則分別滿足①、②的直線AB各有( 。
          分析:由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑,根據(jù)四部分圖形面積滿足①S|+SIV=S||+S|||,得到SIV-SII=S-SI,第II,IV部分的面積是定值,所以S-SI為定值,所以得到滿足①條件的直線有且僅有一條;把條件②SI+SII+SIII=SIV變形為SIV-SII=SI+SIII,第II,IV部分的面積是定值,得到SI+SIII為定值,并求出此定值,顯然直線AB的斜率存在,設(shè)出直線AB的斜率為k,根據(jù)直線AB過(guò)C點(diǎn),寫(xiě)出直線AB的方程,分別令x=0和y=0求出對(duì)應(yīng)的y值與x值,得到A與B的坐標(biāo),進(jìn)而表示出OA與OB的長(zhǎng),由四邊形CEOF為邊長(zhǎng)為1的正方形,得到OE=OF=1,進(jìn)而表示出BE及AF,表示出三角形BCE與三角形ACF的面積,又把扇形CEM與扇形CFN旋轉(zhuǎn)為一個(gè)大扇形,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到大扇形的圓心角為直角,半徑為1,求出此時(shí)大扇形的面積,用三角形BCE與三角形ACF的面積之和減去大扇形的面積即為SI+SIII,等于求出的定值,列出關(guān)于k的方程,整理后根據(jù)根的判別式大于0,得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,進(jìn)而確定出滿足題意的直線AB有兩條,綜上,得到分別滿足①、②的直線AB的條數(shù).
          解答:精英家教網(wǎng)
          解:∵圓C的方程為:(x-1)2+(y-1)2=1,
          ∴圓心C坐標(biāo)為(1,1),半徑r=1,
          可得圓C與x軸及y軸相切,切點(diǎn)分別為E和F,連接CE及CF,
          由已知SI+SIV=SII+SIII,變形得:SIV-SII=S-SI,
          由圖形可知第II,IV部分的面積分別為:
          S正方形OECF-S扇形ECF=1-
          π
          4
          和S半圓=
          π
          2
          ,
          所以,SIV-SII為定值,即S-SI為定值,
          當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí),
          只可能有一個(gè)位置符合題意,即直線AB只有1條,
          則滿足條件①的直線AB有1條;
          由第II,IV部分的面積分別為:
          S正方形OECF-S扇形ECF=1-
          π
          4
          和S半圓=
          π
          2
          ,
          由已知SI+SII+SIII=SIV,變?yōu)榈茫篠IV-SII=SI+SIII=
          4
          -1,
          顯然直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k,由直線AB過(guò)C(1,1),
          ∴直線AB的方程為:y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0,
          令x=0,解得y=1-k,故OB=1-k,
          令y=0,解得x=
          k-1
          k
          ,故OA=
          k-1
          k
          ,
          SI+SIII=(S△BCE+S△ACF)-(S扇形MEC+S扇形NCF)=
          1
          2
          BE•CE+
          1
          2
          AF•CF-
          90π
          360

          =
          1
          2
          (1-k-1)+
          1
          2
          (1-
          1
          k
          -1)-
          π
          4
          =
          1
          2
          (-k-
          1
          k
          )-
          π
          4
          =
          4
          -1,
          整理得:2k2+(4π-4)k+2=0,
          ∵△=(4π-4)2-16=16π2-32π>0,
          ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,
          即滿足題意的k值有兩解,
          則滿足條件②的直線AB有2條,
          綜上,分別滿足①、②的直線AB各有1條;2條.
          故選A
          點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:扇形面積的求法,直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),陰影部分面積的求法,以及利用根的判別式判斷一元二次方程解的情況,利用了轉(zhuǎn)化的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的題.
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          A、0條B、1條C、2條D、3條

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          條.

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          A.0條
          B.1條
          C.2條
          D.3條

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