【題目】
已知
， 
，函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)
， 
時，解關(guān)于
的不等式
；
（Ⅱ）若函數(shù)
的最大值為2，求證： 
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】試題分析：
(Ⅰ)由題意可得
.零點分段求解不等式可得不等式的解集為
；
(Ⅱ)由絕對值三角不等式可得
，則
.由均值不等式的結(jié)論可得
，當(dāng)且僅當(dāng)
時，等號成立.
證法二：由題意可得
，零點分段可得
，結(jié)合函數(shù)圖像可得
.由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論.
試題解析：
（Ⅰ）當(dāng)
時， 
.
不等式
為
.
①當(dāng)
時，因為不等式為
，所以不等式成立，
此時符合；符合要求的不等式的解集為
；
②當(dāng)
時，因為不等式為
，所以
，
此時，符合不等式的解集為
；
③當(dāng)
時，因為不等式為
不成立，解集為空集；
綜上所述，不等式
的解集為
.
（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得
， 
， 
∴
.
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時，等號成立.
另解：（Ⅱ）因為
， 
，所以
，
所以函數(shù)
，
所以函數(shù)
的圖象是左右兩條平行于
軸的射線和中間連結(jié)成的線段，
所以函數(shù)的最大值等于
，所以
.
∵
，
∴
.
或者
，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時，“等號”成立.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E： 
的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（1）當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（2）當(dāng)2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某大學(xué)社團為調(diào)查大學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好，在該校隨機抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間，并整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間，可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個等級 :
學(xué)習(xí)時間 (分鐘/天) |
|
|
|
等級 | 一般 | 愛好 | 癡迷 |
(Ⅰ) 求
的值；
(Ⅱ) 從該大學(xué)的學(xué)生中隨機選出一人，試估計其“愛好”中華詩詞的概率；
(Ⅲ) 假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，試估計樣本中40名學(xué)生每人每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直角梯形
中， 
， 
， 
，等腰梯形
中， 
， 
， 
，且平面
平面
.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
與平面
所成角為
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知曲線
，以平面直角坐標(biāo)系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線
.
（1）將曲線
上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的
倍、2倍后得到曲線
.試寫出直線
的直角坐標(biāo)方程和曲線
的參數(shù)方程；
（2）在曲線
上求一點
，使點
到直線
的距離最大，并求出此最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部
是等腰梯形，其中
為2米，梯形的高為1米， 
為3米，上部
是個半圓，固定點
為
的中點. 
是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和
平行.當(dāng)
位于
下方和上方時，通風(fēng)窗的形狀均為矩形
（陰影部分均不通風(fēng)）.
（1）設(shè)
與
之間的距離為
（
且
）米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積
（平方米）表示成關(guān)于
的函數(shù)
；
（2）當(dāng)
與
之間的距離為多少米時，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積
取得最大值？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓
的極坐標(biāo)方程為： 
.若以極點
為原點，極軸所在直線為
軸建立平面直角坐標(biāo)系.
（Ⅰ）求圓
的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點
是圓
上動點，試求
的最大值，并求出此時點
的直角坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
有極值，且在
處的切線與直線
垂直．
（1）求實數(shù)
的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)
，使得函數(shù)
的極小值為
．若存在，求出實數(shù)
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖
是圓柱體
的母線， 
是底面圓的直徑， 
分別是
的中點， 
.
（1）求證: 
平面
；
（2）求點
到平面
的距離；
（3）求二面角
的大小.
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