Question

點(diǎn)O是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)A（與點(diǎn)O不同）的“對(duì)偶點(diǎn)”A′是指：點(diǎn)A′在射線OA上且|OA|•|OA′|=1厘米²．若平面α內(nèi)不同四點(diǎn)P，Q，R，S在某不過(guò)點(diǎn)O的直線l上，則它們相應(yīng)的“對(duì)偶點(diǎn)”P(pán)′，Q′R′，S′在（　　）

A、一個(gè)過(guò)點(diǎn)O的圓上

B、一個(gè)不過(guò)點(diǎn)O的圓上

C、一條過(guò)點(diǎn)O的直線上

D、一條不過(guò)點(diǎn)O的直線上

Answer 1

分析：過(guò)O作與直線l垂直的直線m，以O(shè)為原點(diǎn)，直線m為x軸，單位為1厘米，建立平面直角平面坐標(biāo)系，設(shè)出P，P′的坐標(biāo)，利用|OP|•|OP′|=1，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：解：過(guò)O作與直線l垂直的直線m，以O(shè)為原點(diǎn)，直線m為x軸，單位為1厘米，建立平面直角平面坐標(biāo)系．
設(shè)直線l：x=

1

a

（a≠0），P（

1

a

，y₀）是直線l上任意一點(diǎn)，它的“對(duì)偶點(diǎn)”為P′（x，y），則存在λ＞0，使得

OP

=λ

OP′

，即

1

a

=λx，y0=λy，
又|OP|•|OP′|=

OP

•

OP′

=

x

a

+y0y=1，消去λ，得x²+y²-ax=0．
故P′，Q′R′，S′在過(guò)點(diǎn)O的圓x²+y²-ax=0上．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．