Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l經(jīng)過點P（﹣1，0），其傾斜角為α，在以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+1=0． （Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣6x+1=0 ∵直線l經(jīng)過點P（﹣1，0），其傾斜角為α，∴直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）
將 ，代入x2+y2﹣6x+1=0整理得t2﹣8tcosα+8=0
∵直線l與曲線C有公共點，∴△=64cos2α﹣32≥0即 或
∵α∈[0，π）∴α的取值范圍是
（Ⅱ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣6x+1=0可化為（x﹣3）2+y2=8
其參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）
∵M(jìn)（x，y）為曲線C上任意一點，∴
∴x+y的取值范圍是[﹣1，7]．
【解析】（Ⅰ）由直線l經(jīng)過點P（﹣1，0），且傾斜角為α，可得直線l的參數(shù)方程，利用互化公式可得C的直角坐標(biāo)方程．由直線l與曲線C有公共點，可得△=64cos2α﹣32≥0，解出即可得出的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，利用參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），結(jié)合三角函數(shù)知識求x+y的取值范圍．