Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，橢圓的中心在原點，為其右焦點，點為曲線和在第一象限的交點，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為拋物線上的兩個動點，且使得線段的中點在直線上，

為定點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）面積的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由已知得，跟據(jù)拋物線定義，得，所以點；據(jù)橢圓定義，得．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是．（2）因為為線段的中點，得直線的方程為；聯(lián)立，得，由弦長公式和點到直線的距離，得．

再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得面積的最大值為．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．

由已知，點，則．

設(shè)點，據(jù)拋物線定義，得．由已知，，則．

從而，所以點．

設(shè)點為橢圓的左焦點，則，．

據(jù)橢圓定義，得，則．

從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方式是．

（2）設(shè)點，，，則．

兩式相減，得，即．因為為線段的中點，則．

所以直線的斜率．

從而直線的方程為，即．

聯(lián)立，得，則．

所以．

設(shè)點到直線的距離為，則．

所以．

由，得．令，則．

設(shè)，則．

由，得．從而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以，故面積的最大值為．