Question

已知復(fù)數(shù)：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），記f（x）=Re（z₁•z₂）
（1）試寫出f（x）關(guān)于x的函數(shù)解析式
（2）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求k的值
（3）求證：對任意實數(shù)m，由（2）所得函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+m的圖象最多只有一個交點．

Answer 1

解：（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i
f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx
（2）設(shè)定義域R中任意實數(shù)，由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
得：f（-x）=f（x）
log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-
證明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-x
聯(lián)立方程：y=log₂（2^x+1）-x和y=x+m
得：log₂（2^x+1）-x=x+m
即m=log₂（2^x+1）-x
log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）
得：2^x+1=2^（x+m）
2^x•（2^m-1）=1
若 m=0 方程無解
若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程無解
若m＞0 2^x=
x=log₂
方程有唯一解
對任意實數(shù)m，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+m的圖象的交點最多只有一個．
分析：（1）由z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi，求出z₁•z₂后，結(jié)合f（x）=Re（z₁•z₂），可得f（x）關(guān)于x的函數(shù)解析式
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程可求出k的值
（3）由（2）中結(jié)論，聯(lián)立方程y=log₂（2^x+1）-x和y=x+m，即2^x•（2^m-1）=1，分別討論 m=0，m＜0，m＞0，三種情況下函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+m的圖象交點個數(shù)，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解方法，根的存在性及根的個數(shù)判斷，是復(fù)數(shù)與函數(shù)三要素，性質(zhì)，圖象的綜合應(yīng)用，難度較大．