Question

【題目】如圖，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1： ．

（1）若AD=DC，求異面直線PA，BC所成的角；
（2）求PB與平面PDC所成角大��；
（3）求二面角D﹣PB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得異面直線PA，BC所成的角為直線PA與AD所成的角為∠PAD=45°
（2）解：由已知得BC與平面PDC垂直，所以PB與平面PDC所成角為∠CPB=45°
（3）解：取PC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥PC

由于BC⊥平面PDC，所以PBC⊥平面PDC，從而DE⊥平面C，做EF⊥PB于點(diǎn)F，連接DF，可得DF⊥PB

所以∠DFE為二面角D﹣PB﹣C的平面角．

計(jì)算可得DE= ，EF= ．

所以二面角D﹣PB﹣C的正切值為 ．

【解析】（1）根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解，（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解，（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．