Question

【題目】已知二次函數(shù)，且.

（1）定義：對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

（i）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（ii）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）求的圖像在x軸上截得的線段長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（i），或.（ii）或者（2）

【解析】

(1)（i）要使得，直接計(jì)算出的值即可；

（ii）理解題意，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)即可求出的取值范圍；

(2) 求圖像在x軸上截得的線段長，即求，利用韋達(dá)定理，即可求出取值范圍.

1．（i）依題意得，，，

要使，則，

解得，或.

（ii）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義，有，

即：，

對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),

所以恒成立，

即：對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，都有 恒成立，

所以 ，解得或.

（2）因?yàn)?/span>，則，.

所以，

又因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)，則，

則，令

對(duì)稱軸為：，所以，

所以，得出.

則的圖像在軸上截得的線段長的取值范圍是.