Question

（2012•惠州模擬）某商場(chǎng)準(zhǔn)備在節(jié)日期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)．
（1）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（2）商場(chǎng)對(duì)選出的商品采用有獎(jiǎng)促銷，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上價(jià)格提高180元，同時(shí)允許顧客每購(gòu)買1件促銷商品有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都可獲得獎(jiǎng)金100元，假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)中獎(jiǎng)與否是等可能的，試分析此種有獎(jiǎng)促銷方案對(duì)商場(chǎng)是否有利．

Answer 1

分析：（1）事件“至少有一種是日用商品”的對(duì)立事件是“商品中沒(méi)有日用商品”運(yùn)用逆向思維，即可求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（2）求出顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值，與商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額比較，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品一共有

C

3 9

種選法，選出的3種商品中沒(méi)有日用商品的選法有

C

3 5

種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-

C 3 5

C 3 9

=

37

42

．
（2）顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量，設(shè)為X，其所有可能值為0，100，200，300．
所以P（X=0）=

C

0 3

×(

1

2

)0×(

1

2

)3=

1

8

，P（X=100）=

C

1 3

×(

1

2

)1×(

1

2

)2=

3

8

，P（X=200）=

C

2 3

×(

1

2

)2×(

1

2

)1=

3

8

，

P（X=300）=

C

3 3

×(

1

2

)3×(

1

2

)0=

1

8

于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是E（X）=0×

1

8

+100×

3

8

+200×

3

8

+300×

1

8

=150．
因?yàn)?50＜180，即顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值小于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，所以促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型以及運(yùn)用互斥事件求概率的方法，同時(shí)考查期望的求法，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．