Question

設(shè)P（x₀,y₀）是橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn)，F₁為其左焦點(diǎn).

（1）求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在橢圓上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.

Answer 1

解:（1）對(duì)應(yīng)于F₁的準(zhǔn)線方程為x=，根據(jù)橢圓的第二定義：,∴|PF₁|=a+ex₀.又-a≤x₀≤a,

∴當(dāng)x₀=-a時(shí)，|PF₁|_min=a+(-a)=a-c;

當(dāng)x₀=a時(shí)，|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,∴(a+ex₀)²+(a-ex₀)²=4c^2.將數(shù)據(jù)代入得25+=40.      

∴x₀=±.代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.(,-),(-,)，(-,-).