Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

(Ⅰ)若函數(shù)在處有極小值，求的值；

(Ⅱ)若，設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)， ；

(Ⅲ)若，對(duì)于給定，其中，若.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組，求解方程組可得；

(Ⅱ)首先確定函數(shù)取得最值時(shí)自變量的位置，然后結(jié)合題意進(jìn)行證明即可得出結(jié)論；

(Ⅲ)由題意分類討論可得的取值范圍是.

試題解析：

(Ⅰ) ,由已知的，

解得或.

當(dāng)時(shí)， 是極小值

當(dāng)時(shí)， 是極大值，故舍去

所以

(Ⅱ)

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外，

于是， 在上的最大值在兩端點(diǎn)處取得，

即.

于是=≥，

故.

(Ⅲ)

所以，當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減.

①當(dāng)時(shí)， ，

，

，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，

且.

因此， 成立， 符合題意.

②當(dāng)時(shí), ，

，

于是

所以成立， 不符合題意

③時(shí)， ，

，

.

所以不符合題意.

綜上， .