Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx–2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：

（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由；

（2）證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，由AC⊥BC得；由根與系數(shù)的關(guān)系得，矛盾，所以不存在；（2）求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得圓的方程，再利用垂徑定理求弦長(zhǎng).

試題解析：（1）不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：

設(shè), ,則滿足，所以.

又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況.

（2）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），可得BC的中垂線方程為.

由（1）可得，所以AB的中垂線方程為.

聯(lián)立又，可得

所以過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（），半徑

故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.