Question

（2012•奉賢區(qū)二模）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C方程，用y²=f（x）形式表示；
（2）類似高二第二學(xué)期教材（12.4橢圓的性質(zhì)、12.6雙曲線的性質(zhì)、12.8拋物線的性質(zhì)）中研究曲線的方法請(qǐng)你研究軌跡C的性質(zhì)，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案；
（3）求△PF₁F₂周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）寫(xiě)出對(duì)稱性、頂點(diǎn)、x、y范圍即可；
（3）表示出△PF₁F₂周長(zhǎng)，確定|PF₁|的范圍，即可求△PF₁F₂周長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1
∴|PF₁||PF₂|=1
∴

(x+1)2+y2

×

(x-1)2+y2

=1
化簡(jiǎn)得y²=

4x2+1

-x2-1．    
（2）性質(zhì)：
對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱、關(guān)于y軸對(duì)稱                           
頂點(diǎn)：（0，0），（±

2

，0）
x的范圍：-

2

≤x≤

2

y的范圍：-

1

2

≤y≤

1

2

；                     
（3）△PF₁F₂周長(zhǎng)為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=|PF₁|+

1

|PF1|

+2
∵|PF₁|=

(x+1)2+y2

=

4x2+1 +2x

（-

2

≤x≤

2

且x≠0）
∴|PF₁|∈(

2

-1，1)∪(1，

2

+1)
∴△PF₁F₂周長(zhǎng)的取值范圍為（4，2+2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查曲線的性質(zhì)，考查三角形周長(zhǎng)的求解，正確表示三角形的周長(zhǎng)是關(guān)鍵．