Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)； ②存在[a，b]⊆D，（a＜b）使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱y=f（x）為閉函數(shù)．若f(x)=k+

x

是閉函數(shù)，則實(shí)數(shù)K的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f(x)=k+

x

求出函數(shù)的定義域和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在[a，b]上的值域也是[a，b]，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，由一元二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)根的充要條件

△＞0 - b 2a ＞0 f(0)≥0

，求出實(shí)數(shù)K的取值范圍．

解答：解：函數(shù)f(x)=k+

x

的定義域?yàn)閇0，+∞），且是增函數(shù)；
若存在區(qū)間[a，b]∈[0，+∞） 符合條件，則a＜b
∴

k+ a =a k+ b =b

有解，
即方程k+

x

=x 有兩個(gè)不相同的非負(fù)實(shí)數(shù)根．
設(shè)t=

x

，則t≥0，則k=x-

x

=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，
因?yàn)閠≥0，所以要使方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則-

1

4

＜k＜0，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為-

1

4

＜k＜0．
故答案為：-

1

4

＜k＜0．

點(diǎn)評：考查根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，單調(diào)性，和利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和方程的思想方法，屬中檔題．