Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-

3

y=4相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓O內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的取值范圍；
（Ⅲ）已知D，E，F(xiàn)是圓O上任意三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ=R，問點(diǎn)M的軌跡是否一定經(jīng)過△DEF的重心（重心為三角形三條中線的交點(diǎn)），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）利用圓心到直線的距離求圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）根據(jù)圓的方程求出A、B的坐標(biāo)，利用|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列可得P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件，結(jié)合P是圓內(nèi)的點(diǎn)，求出

PA

•

PB

的取值范圍；
（III）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M滿足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，設(shè)DE的中點(diǎn)為N，利用向量運(yùn)算可得

FM

=2λ

FN

，說明點(diǎn)M的軌跡是△DEF的中線FN所在的直線，即軌跡一定經(jīng)過△DEF的重心．

解答：解：（Ⅰ）依題意，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2，∴圓O的方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，令y=0得x²=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，即：

(x+2)2+y2

×

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化簡(jiǎn)得：x²-y²=2，

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²，
∵x²-y²=2
∴

PA

•

PB

=2y²-2，
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故

x2+y2＜4 x2-y2=2

，由此得y²＜1．
∴-2≤

PA

•

PB

=2y²-2＜0，
∴

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，0）；
（Ⅲ）設(shè)DE的中點(diǎn)為N，則

OD

•

OE

=2

ON

，
∴

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ∈R，

OM

=2λ（

ON

-

OF

）+

OF

∴

OM

-

OF

=2λ（

ON

-

OF

），
∴

FM

=2λ

FN

，
∴F，N，M三點(diǎn)共線，
即點(diǎn)M的軌跡是△DEF的中線FN所在的直線，
故點(diǎn)M的軌跡一定經(jīng)過△DEF的重心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查了向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量在幾何中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．