Question

如圖,A,B,C,D為空間四點.在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等邊三角形ADB以AB為軸轉動.

(1)當平面ADB⊥平面ABC時,求CD.

(2)當△ADB轉動時,是否總有AB⊥CD?證明你的結論.

 

Answer 1

(1)2 (2)見解析

【解析】(1)取AB的中點E,

連接DE,CE,

因為△ADB是等邊三角形,

所以DE⊥AB.

當平面ADB⊥平面ABC時,

因為平面ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,

在Rt△DEC中,CD==2.

(2)當△ADB以AB為軸轉動時,總有AB⊥CD.

證明:

①當D在平面ABC內(nèi)時,

因為AC=BC,AD=BD,

所以C,D都在線段AB的垂直平分線上,即AB⊥CD.

②當D不在平面ABC內(nèi)時,

由(1)知AB⊥DE.

又因AC=BC,所以AB⊥CE.

又DE,CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE.

由CD?平面CDE,得AB⊥CD.

綜上所述,總有AB⊥CD.