Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為，且過點(2，)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)M，N，P，Q是橢圓C上的四個不同的點，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點F1，F2，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）

【解析】(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e2＝，所以a2＝2b2.

所以C：＝1，即x2＋2y2＝2b2.

因為橢圓C過點(2，)，代入橢圓方程得b2＝4，所以a2＝8.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)證明：由(1)知橢圓的焦點坐標(biāo)為F1(－2，0)，F2(2，0)．

根據(jù)題意，可設(shè)直線MN的方程為y＝k(x＋2)，

由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為y＝－(x－2)．

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由方程組消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.

則x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.

所以