Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥ =

1

2

AD，BE

∥

.

1

2

AF．
（1）求證：C、D、F、E四點共面；
（2）設(shè)AB=BE，求證：平面ADE⊥平面DCE；
（3）設(shè)AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=a，BC=b，BE=c，通過向量法可證得EC∥FD，即C、D、E、F共面
（2）求出平面ADE的法向量和平面DCE的法向量，利用向量垂直的充要條件可得兩個法向量垂直，進而平面ADE⊥平面DCE；
（3）求出平面ADE的法向量為

m

=（1，0，-1），和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式可得二面角A-ED-B的余弦值

解答：解：由平面平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，…（1分）

證明：（1）設(shè)AB=a，BC=b，BE=c，
則B（a，0，0），C（a，b，0），E（a，0，c），D（0，2b，0），F(xiàn)（0，0，2c），…（3分）
∴

EC

=（0，b，-c），

FD

=（0，2b，-2c），
故

EC

=

1

2

FD

，
∴EC∥FD，
∴C、D、E、F共面．…（5分）
解：（2）∵AB=BE，由（1）可知E（a，0，a），
∴

AE

=（a，0，a），

AD

=（0，2b，0），
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面ADE的法向量，則

ax+az=0 2by=0

，∴

m

=（1，0，-1），…（7分）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面DCE的法向量，則由

EC

=（0，b，-a），

CD

=（-a，b，0），
∴

bx-az=0 -ax+by=0

，∴

n

=（1.

a

b

，1），…（9分）
∵

m

•

n

=0，
∴

m

⊥

n

，
∴平面ADE⊥平面DCE；
（3）當(dāng)AB=BC=BE時，由（2）可知平面ADE的法向量為

m

=（1，0，-1），
設(shè)平面BDE的法向量為

u

=（x，y，z），
由

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0）得

az=0 -ax+2ay=0

，
∴

u

=（2，1，0），
∴cos＜

m

，

u

＞=

m • u

| m |•| u |

=

2

2 • 5

=

10

5

，
∴二面角A-ED-B的余弦值為

10

5

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．