Question

設(shè)f(x)=(x2+

4

x2

-4)5，求：
（1）f（x）的展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)；    （2）f（x）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式為(x-

2

x

)10，由通項(xiàng)公式 T_r+1=（-2）^rC₁₀^rx^10-2r，令10-2r=4 求得 r的值，即得
展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)為 （-2）^rC₁₀^r 的值．
（2）由于展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和與未知數(shù)無(wú)關(guān)，故令x=1代入f（x）可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．

解答：解：（1）f(x)=(x2+

4

x2

-4)5=(x-

2

x

)10，通項(xiàng)公式為T_r+1=C₁₀^r x^10-r （-2）^r x^-r=（-2）^rC₁₀^r x^10-2r，
令10-2r=4，r=3，故展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)為 （-2）^rC₁₀^r=（-2）³C₁₀³=-960．
（2）由于展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和與未知數(shù)無(wú)關(guān)，故令x=1代入f（x）可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，以及展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的求法．