Question

（本小題滿分14分）數(shù)列中，若存在常數(shù)，均有，稱數(shù)列是有界數(shù)列；把叫數(shù)列的前項(xiàng)鄰差和，數(shù)列叫數(shù)列的鄰差和數(shù)列。

（1）若數(shù)列滿足，，均有恒成立，試證明：是有界數(shù)列；

（2）試判斷公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的鄰差和數(shù)列是否為有界數(shù)列，證明你的結(jié)論；

（3）已知數(shù)列、的鄰差和與均為有界數(shù)列，試證明數(shù)列的鄰差和數(shù)列也是有界數(shù)列。

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）式子可化為

                ………………………   1分

或                   ………………………   2分

或                     ………………………   3分

綜上可知，從而，故是有界數(shù)列。  ………………   4分

（2）由依題，，于是

      

當(dāng)時(shí)，顯然，故為有界數(shù)列；      ………………………   5分

當(dāng)時(shí)，

=

當(dāng)時(shí)，，故為有界數(shù)列；   ……………   7分

當(dāng)時(shí)，常數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不是有界數(shù)列；              ………………………   8分

綜上可知，當(dāng)時(shí)，為有界數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不是有界數(shù)列。

………………………   9分

（III）若數(shù)列 {}是有界數(shù)列，則存在正數(shù)，對(duì)任意的有

   ，    ………………………   10分

注意到

   ………………………   11分

同理：           

記，

  …………………   12分

因此

        

故數(shù)列的鄰差和數(shù)列也是有界數(shù)列。         ………………………   14分