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        1. 精英家教網(wǎng)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D為側(cè)棱AA1的中點(diǎn).
          (1)求異面直線DC1,B1C所成角的余弦值;
          (2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
          分析:(1)以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo),寫出兩個(gè)向量的方向向量,根據(jù)兩個(gè)向量所成的角得到兩條異面直線所成的角.
          (2)先求兩個(gè)平面的法向量,在第一問的基礎(chǔ)上,有一個(gè)平面的法向量是已知的,只要寫出向量的表示形式就可以,另一個(gè)平面的向量需要求出,根據(jù)兩個(gè)法向量所成的角得到結(jié)果.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖所示,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系
          C-xyz.
          則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(2,0,1).
          所以
          DC1
          =(-2,0,1),
          B1C
          =(0,-2,-2). 
          所以cos<
          DC1
          ,
          B1C
          >=
          DC1
          B1C
          |
          DC1
          ||
          B1C
          |
          =
          -2
          5
          ×
          8
          =-
          10
          10

          即異面直線DC1與B1C所成角的余弦值為
          10
          10

          (2)因?yàn)?span id="x5ar1fk" class="MathJye">
          CB
          =(0,2,0),
          CA
          =(2,0,0),
          CC1
          =(0,0,2),
          所以
          CB
          CA
          =0,
          CB
          CC1
          =0,
          所以
          CB
          為平面ACC1A1的一個(gè)法向量.         
          因?yàn)?span id="mzebarq" class="MathJye">
          B1C
          =(0,-2,-2),
          CD
          =(2,0,1),
          設(shè)平面B1DC的一個(gè)法向量為n,n=(x,y,z).
          n•
          B1C
          =0
          n•
          CD
          =0
          ,得
          -2y-2z=0
          2x+z=0

          令x=1,則y=2,z=-2,n=(1,2,-2).
          所以cos<n,
          CB
          >=
          n•
          CB
          |n|•|
          CB
          |
          =
          4
          3×2
          =
          2
          3

          所以二面角B1-DC-C1的余弦值為
          2
          3
          點(diǎn)評:本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角問題,包括兩條異面直線的夾角和兩個(gè)平面的夾角,本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:CD⊥AB′;
          (Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大。
          (Ⅲ)求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•瀘州一模)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AB=BC=CA=a,AA′=
          2
          a
          ,則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
          30°
          30°

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=a (a為常數(shù)).
          (Ⅰ)在平面ABC內(nèi)確定一條直線,使該直線與直線CE垂直;
          (Ⅱ)判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值.若是定值,求出這個(gè)三棱錐的體積;若不是定值,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°角.
          (1)求證:A′B⊥面AB′C;
          (2)求二面角B-B′C-A的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∠ACB=90°,AC=BC=1,AA′=2,
          (1)欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行,問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線,寫出作法,并說明理由;
          (2)求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值.

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          同步練習(xí)冊答案