Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D為側(cè)棱AA₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC₁為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)向量的方向向量，根據(jù)兩個(gè)向量所成的角得到兩條異面直線所成的角．
（2）先求兩個(gè)平面的法向量，在第一問的基礎(chǔ)上，有一個(gè)平面的法向量是已知的，只要寫出向量的表示形式就可以，另一個(gè)平面的向量需要求出，根據(jù)兩個(gè)法向量所成的角得到結(jié)果．

解答：解：（1）如圖所示，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC₁為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系
C-xyz．
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1）．
所以

DC1

=（-2，0，1），

B1C

=（0，-2，-2）． 
所以cos＜

DC1

，

B1C

＞=

DC1• B1C

| DC1 || B1C |

=

-2

5 × 8

=-

10

10

．
即異面直線DC₁與B₁C所成角的余弦值為

10

10

．
（2）因?yàn)?span id="x5ar1fk" class="MathJye">

CB

=（0，2，0），

CA

=（2，0，0），

CC1

=（0，0，2），
所以

CB

•

CA

=0，

CB

•

CC1

=0，
所以

CB

為平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量．         
因?yàn)?span id="mzebarq" class="MathJye">

B1C

=（0，-2，-2），

CD

=（2，0，1），
設(shè)平面B₁DC的一個(gè)法向量為n，n=（x，y，z）．
由

n• B1C =0 n• CD =0

，得

-2y-2z=0 2x+z=0

令x=1，則y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n，

CB

＞=

n• CB

|n|•| CB |

=

4

3×2

=

2

3

．
所以二面角B₁-DC-C₁的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角問題，包括兩條異面直線的夾角和兩個(gè)平面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系．