Question

已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點F重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點為P，．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若過點A（-1，0）的直線與橢圓C₁相交于M、N兩點，求使成立的動點R的軌跡方程；
（3）若點R滿足條件（2），點T是圓（x-1）²+y²=1上的動點，求|RT|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線y²=4x的焦點F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)拋物線的定義，由，可求x．由點P在拋物線C₂上，且在第一象限可求點P的坐標(biāo)，再由點P在橢圓上及c=1，a²=b²+c²=b²+1，可求a，b，從而可求橢圓的方程
（2）設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），則由，可得x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．利用設(shè)而不求的方法可得設(shè)FR的中點為Q，由M、N、Q、A四點共線可得=，從而可得動點R的軌跡方程；
（3）確定橢圓的左頂點，圓與x軸的交點坐標(biāo)，即可求|RT|的最大值．
解答：解：（1）拋物線C₂：y²=4x的焦點F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)拋物線的定義，由，得1+x=，解得x=．
∵點P在拋物線C₂上，且在第一象限，∴=4x=4×，解得y=．
∴點P的坐標(biāo)為（，）．
∵點P在橢圓上，∴．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C₁的方程為．
（2）設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
則=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），=（x-1，y）．
∴+=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）．
∵+=，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．①
∵M(jìn)、N在橢圓C₁上，∴，．
上面兩式相減，把①式代入得．
當(dāng)x₁≠x₂時，得．②
設(shè)FR的中點為Q，則Q的坐標(biāo)為（，）．
∵M(jìn)、N、Q、A四點共線，∴k_MN=k_AQ，即=．③
把③式代入②式，得，化簡得4y²+3（x²+4x+3）=0．
當(dāng)x₁=x₂時，可得點R的坐標(biāo)為（-3，0），
經(jīng)檢驗，點R（-3，0）在曲線4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴動點R的軌跡方程為4y²+3（x²+4x+3）=0．
（3）4y²+3（x²+4x+3）=0可化為，中心為（-2，0），焦點在x軸上，左頂點坐標(biāo)為（-3，0）
∵圓（x-1）²+y²=1的圓心坐標(biāo)為（1，0），與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0），（2，0）
∴|RT|的最大值為2-（-3）=5．
點評：圓錐曲線的性質(zhì)與圓錐曲線的定義相結(jié)合，在解題時要注意靈活應(yīng)用這樣可以簡化運算在直線與橢圓的位置關(guān)系中涉及到直線的斜率、線段的中點結(jié)合在一起的問題，“設(shè)而不求”得做法可以簡化解題的基本運算，這是解決此類問題的重要方法．