Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)、、，使、、成等差數(shù)列，且、、 成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）先利用倒數(shù)法得到，再結(jié)合待定系數(shù)法得到，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在（1）的條件下求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，假設(shè)相應(yīng)的正整數(shù)、、滿足題中條件，并列出相應(yīng)的等式組并進(jìn)行化簡，利用基本不等式得出矛盾，從而說明符合題中條件的正整數(shù)、、不存在.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/0/4mzlu.png" style="vertical-align:middle;" />，所以. 所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/0/ssmgh.png" style="vertical-align:middle;" />，則.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，所以.
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件，
則有，
由與，
得.
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/93/b/9joza1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/2/rus2o.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
這與、、互不相等矛盾．
所以不存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件.
考點(diǎn)：1.倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)；2.待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)；3.基本不等式