【題目】已知.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,
.
【答案】(Ⅰ)、(Ⅱ)見解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)要證,即
,設(shè)
,則
,
. 再次構(gòu)造函數(shù)
,通過求導(dǎo)研究函數(shù)
的性質(zhì)可得
在
上恒成立,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,所以
,即可得證;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,當(dāng)
時,
且
所以
.當(dāng)
對
恒成立時,不等式
恒成立.構(gòu)造函數(shù)
,討論
的單調(diào)性,即可得證.
試題解析:(Ⅰ)不等式,即不等式
.
設(shè),則
,
.
再次構(gòu)造函數(shù),則
在
時恒成立,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,所以
,所以
在
上恒成立,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,所以
,所以
,即
成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的解析可知,當(dāng)時,
且
,
所以.
當(dāng)對
恒成立時,不等式
恒成立.
不等式,即不等式
對
恒成立.
構(gòu)造函數(shù),則
,令
,
則,當(dāng)
時,
,故
在
上單調(diào)遞增,
所以,故
,即
在
上單調(diào)遞增,所以
,
故恒成立.
故當(dāng)時,
,
即當(dāng)時,不等式
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程和函數(shù)
的極值:
(2)若對任意,都有
成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】葫蘆島市某高中進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查:2012年至2016年本校學(xué)生人均年求學(xué)花銷(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年求學(xué)花銷 | 3.2 | 3.5 | 3.8 | 4.6 | 4.9 |
(1)求關(guān)于
的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2012年至2016年本校學(xué)生人均年求學(xué)花銷的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2017年本校學(xué)生人均年求學(xué)花銷情況.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F(xiàn)在圓O上,且AB//EF,AB=2EF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直.
(I)證明:OF//平面BEC;
(Ⅱ)證明:平面ADF平面BCF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的直三棱柱中,
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)若為正三角形,且
,
為
上的一點(diǎn),
,求直線
與直線
所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為:v=a+blog3 (其中a,b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,其飛行速度為1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2 m/s,則其耗氧量至少要多少個單位?
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