Question

【題目】在學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)活動(dòng)中，某市圖書(shū)館的科技類(lèi)圖書(shū)和時(shí)政類(lèi)圖書(shū)是市民借閱的熱門(mén)圖書(shū).為了豐富圖書(shū)資源，現(xiàn)對(duì)已借閱了科技類(lèi)圖書(shū)的市民（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“問(wèn)卷市民”）進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，若不借閱時(shí)政類(lèi)圖書(shū)記1分，若借閱時(shí)政類(lèi)圖書(shū)記2分，每位市民選擇是否借閱時(shí)政類(lèi)圖書(shū)的概率均為，市民之間選擇意愿相互獨(dú)立.

（1）從問(wèn)卷市民中隨機(jī)抽取4人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）（i）若從問(wèn)卷市民中隨機(jī)抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；

（ⅱ）在對(duì)所有問(wèn)卷市民進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查過(guò)程中，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為分的概率為（比如：表示累計(jì)得分為1分的概率，表示累計(jì)得分為2分的概率，），試探求與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，6；（2）（i）；（ⅱ），.

【解析】

（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，列出隨機(jī)變量可能取值為4，5，6，7，8，再求出各可能值的概率可解得.

（2）（i）總分恰為分的概率是等比數(shù)列，用基本量計(jì)算.

（2）（ⅱ）遞推數(shù)列化為等比數(shù)列求解.

（1）的可能取值為4，5，6，7，8，

，

所有的分布列為

	4	5	6	7	8

所以數(shù)學(xué)期望.

（2）（i）總分恰為分的概率為，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

前10項(xiàng)和.

（ii）已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為.

因?yàn)?/span>，即，

所以，

則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以，

所以.