Question

在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式：恒成立，其中常數(shù)．
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）如果關(guān)于的不等式的解集為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

解析試題分析：（Ⅰ）　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/a/1esee4.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，，
解得 ，．                3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，   ①
得，           ②
將①，②兩式相減，得,
化簡，得，其中．         5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/8/8sv5m.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，其中．           6分
因?yàn)?為常數(shù)，
所以數(shù)列為等比數(shù)列．            8分
（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分
所以
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d3/8/8sv5m.png" style="vertical-align:middle;" />，所以不等式
可化簡為，
∵，∴原不等式               11分
由題意知，不等式的解集為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以只要求 且即可，
解得．                 14分
考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列求和；數(shù)列的綜合應(yīng)用；恒成立問題；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。
點(diǎn)評(píng)：（1）解此題的關(guān)鍵是通過證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）解決恒成立問題常用的方法是分離參數(shù)法。