Question

(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過(guò)一種被稱為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤(pán)換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用a_n表示將n個(gè)圓盤(pán)全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問(wèn)題：
(1)   寫(xiě)出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）略

(1)
事實(shí)上，要將個(gè)圓盤(pán)全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面個(gè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)移到B柱上，需要次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將柱上的個(gè)圓盤(pán)轉(zhuǎn)移到C柱上，需要次轉(zhuǎn)移，所以有
則，所以
(2)
則

（）
(3) 令，則當(dāng)時(shí)


又，所以對(duì)一切有：


另方面恒成立，所以對(duì)一切有

綜上所述有：