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【題目】如圖，三棱柱中，平面，，.以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（1）求證：平面；

（2）若二面角為45°，

①證明：平面平面；

②求直線與平面所成角的正切值.

【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字，，，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，曲線C的極坐標方程為．

（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）點M為曲線C上一點，求M到直線l的最小距離．

【題目】已知函數(shù)，其中m為常數(shù)，且是函數(shù)的極值點．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求實數(shù)的最小值．

【題目】已知橢圓的焦距和短軸長度相等，且過點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）圓與橢圓C分別交y軸正半軸于點A，B，過點（，且）且與x軸垂直的直線l分別交圓O與橢圓C于點M，N（均位于x軸上方），問直線AM，BN的交點是否在一條定直線上，請說明理由．

【題目】如圖1所示在菱形ABCD中，，，點E是AD的中點，將沿BE折起，使得平面平面BCDE得到如圖2所示的四棱錐，點F為AC的中點．在圖2中

（Ⅰ）證明：平面ABE；

（Ⅱ）求點A到平面BEF的距離．

【題目】某學校為了了解該校高三年級學生寒假在家自主學習的情況，隨機對該校300名高三學生寒假的每天學習時間（單位：h）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學生的平均每天學習時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；

（Ⅱ）該校規(guī)定學習時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關？

參考公式：，其中．

參考附表：

【題目】兩個數(shù)列、，當和同時在時取得相同的最大值，我們稱與具有性質，其中.

（1）設的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；同樣地，的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；判別與是否具有性質，請說明理由；

（2）數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，若與具有性質，，則這樣的數(shù)列一共有多少個？請說明理由；

（3）兩個有限項數(shù)列與滿足，，且，是否存在實數(shù)，使得與具有性質，請說明理由.

【題目】直線上的動點到點的距離是它到點的距離的3倍.

（1）求點的坐標；

（2）設雙曲線的右焦點是，雙曲線經過動點，且，求雙曲線的方程；

（3）點關于直線的對稱點為，試問能否找到一條斜率為（）的直線與（2）中的雙曲線交于不同的兩點、，且滿足，若存在，求出斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由.

【題目】甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過100千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度（千米/小時）的平方成正比，比例系數(shù)為（），固定部分為1000元.

（1）把全程運輸成本（元）表示為速度（千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？