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【題目】已知函數(shù) .
(1)若在
處導(dǎo)數(shù)相等,證明:
;
(2)若對(duì)于任意 ,直線
與曲線
都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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【題目】已知三棱錐P-ABC的平面展開圖中,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐P-ABC中:
(1)證明:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)M為棱PA上一點(diǎn)且,求二面角P-BC-M的余弦值.
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【題目】2018年全國數(shù)學(xué)奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競(jìng)賽,學(xué)生如果其中2次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競(jìng)賽,而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定:若前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒有達(dá)全區(qū)前20名,則第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名的概率都是,每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.
(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.
(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為,求
的分布列及
的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】我們知道,目前最常見的骰子是六面骰,它是一顆正立方體,上面分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字),其相對(duì)兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然,擲一次六面骰,只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個(gè)“十進(jìn)制骰”,使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個(gè)數(shù)之一,而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請(qǐng)問:你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能,請(qǐng)寫出你的設(shè)計(jì)方案;若不能,寫出理由.
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【題目】已知m∈{11,13,15,17,19},n∈{2000,2001,…,2019},則mn的個(gè)位數(shù)是1的概率為____________ .
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為梯形,
,若棱
,
,
兩兩垂直,長(zhǎng)度分別為1,2,2,且向量
與
夾角的余弦值為
.
(1)求的長(zhǎng)度;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系
的
點(diǎn)為極點(diǎn),
為極軸,且長(zhǎng)度單位相同,建立極坐標(biāo)系,得曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的傾斜角;
(2)若直線與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求
的長(zhǎng)度.
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【題目】已知函數(shù),
.
(1)求曲線在
處的切線方程;
(2)對(duì)任意,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),試求方程
的根的個(gè)數(shù).
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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,點(diǎn)
為橢圓
上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)
作斜率為
的直線
交橢圓
于
,
兩點(diǎn),且
,求
的面積.
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