Question

如圖所示，粒子源O產(chǎn)生初速度為零、電荷量為q、質(zhì)量為m的正離子，被電壓為U₀的加速電場加速后通過直管，在到兩極板等距離處垂直射入平行板間的偏轉(zhuǎn)電場，兩平行板間電壓為U₀．離子偏轉(zhuǎn)后通過極板MN上的小孔S離開電場．已知ABC是一個(gè)外邊界為等腰三角形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，邊界AB=AC=L，θ=30°，離子經(jīng)過一段勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直AB邊從AB中點(diǎn)進(jìn)入磁場．（忽略離子所受重力）
試求：
（1）若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）若離子能從AC邊穿出，試求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的范圍．

Answer 1

分析：（1）離子經(jīng)過兩個(gè)電場加速，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解離子離開第二個(gè)電場時(shí)的速度，即為進(jìn)入磁場時(shí)的速度．在磁場中離子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，列式即可求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）當(dāng)離子的軌跡恰好與AC邊相切時(shí)，軌跡半徑最小，磁感應(yīng)強(qiáng)度B最大，由幾何關(guān)系求出離子能從AC邊穿出時(shí)軌跡的最小半徑，從而由牛頓第二定律求得B的最小值，即可得到B的范圍．

解答：解：（1）設(shè)離子進(jìn)入磁場的速度為v，離子從O運(yùn)動(dòng)到S的過程，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
    qU₀+

1

2

qU₀=

1

2

mv2
離子進(jìn)入磁場后，由牛頓第二定律可知：qvB₀=m

v2

R

聯(lián)立上兩式得離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=

1

B0

3mU0 q

．
（2）當(dāng)離子的軌跡恰好與AC邊相切時(shí)，如圖所示，離子能從AC邊穿出的軌跡半徑最小，磁感應(yīng)強(qiáng)度B最大，
由幾何知識得：r+

r

sin30°

=

L

2

得，r=

1

6

L
又離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，得：qvB=m

v2

r

      
可得：B=

6

L

3mU0 q

要滿足離子能從AC邊穿出，則必須有：B＜

6

L

3mU0 q

．
答：（1）若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

1

B0

3mU0 q

；（2）若離子能從AC邊穿出，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的范圍為B＜

6

L

3mU0 q

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，理清粒子在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．