Question

如圖甲所示，真空區(qū)域內(nèi)有一粒子源A，能每隔

T

2

的時(shí)間間隔定時(shí)地沿AO方向向外發(fā)出一個(gè)粒子．虛線右側(cè)為一有理想邊界的相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，離虛線距離為L(zhǎng)的位置處有一熒光屏，粒子打到熒光屏上將使熒光屏上出現(xiàn)一個(gè)亮點(diǎn)．虛線和熒光屏相互平行，而AO與熒光屏相互垂直．如果某時(shí)刻粒子運(yùn)動(dòng)到虛線位置開始計(jì)時(shí)（記為t=0），加上如圖乙所示周期性變化的電、磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小關(guān)系為

E

0

=

v

0

B（其中

v

0

為粒子到達(dá)虛線位置時(shí)的速度大�。�，發(fā)現(xiàn)t=

3T

2

等時(shí)刻到達(dá)虛線位置的粒子在t=2T時(shí)刻到達(dá)熒光屏上的O點(diǎn)；在t=

T

2

時(shí)刻到達(dá)虛線位置的粒子打到熒光屏上的P點(diǎn)，且OP之間的距離為

L

2

，試根據(jù)以上條件確定，熒光屏上在哪些時(shí)刻，在什么位置有粒子到達(dá)？

Answer 1

分析：由題意，t=

3T

2

時(shí)刻到達(dá)虛線的粒子在=2T時(shí)刻到達(dá)熒光屏上的O點(diǎn)，而在t=

3T

2

～t=2T期間電場(chǎng)和磁場(chǎng)都為零，粒子沿直線運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，說明粒子的重力不計(jì)，分情況討論：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，故做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t=

T

2

時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)．
（2）t=

T

2

時(shí)刻進(jìn)入的粒子只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)，t=T時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn)，OP=

L

2

．
（3）t=T時(shí)刻進(jìn)入的粒子只受洛倫茲力作用，洛倫茲力提供向心力，求出周期，由幾何知識(shí)求出此過程中粒子轉(zhuǎn)過的圓心角θ，并求得QO點(diǎn)間的距離．t=

3T

2

時(shí)刻到達(dá)虛線位置的粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)在t=2T時(shí)刻到達(dá)熒光屏上的O點(diǎn)；
（5）以后重復(fù)，運(yùn)用歸納法總結(jié)出規(guī)律．

解答：解：由于t=

3T

2

時(shí)刻到達(dá)虛線的粒子在=2T時(shí)刻到達(dá)熒光屏上的O點(diǎn)，而在t=

3T

2

～t=2T期間電場(chǎng)和磁場(chǎng)都為零，粒子沿直線運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，說明粒子的重力不計(jì)，故：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，故做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t=

T

2

時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)．
（2）t=

T

2

時(shí)刻進(jìn)入的粒子只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)，t=T時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn)，OP=

L

2

．
（3）t=T時(shí)刻進(jìn)入的粒子只受洛倫茲力作用，則得
x=v₀?

T

2

=L
得

L

v0

=

T

2

或v₀T=2L
由y=

1

2

?

E0q

m

?(

T

2

)2=

L

2

得

m

E0q

=

T2

4L

又由qv₀B=m

v 2 0

R

，聯(lián)立得R=

mv0

qB

=L
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 T₀=

2πm

qB

=πT
設(shè)經(jīng)過

T

2

時(shí)間即

3T

2

時(shí)刻粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，設(shè)此過程中粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為θ，則

θ

2π

=

1 2 T

πT

，則得θ=1rad
以后粒子不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)的打到Q點(diǎn)，由QO點(diǎn)間的距離為
y_QO=（L-Lcosθ）+（L-Lsinθ）tanθ=（L-Lcos1）+）+（L-Lsin1）tan1；
（4）t=

3T

2

時(shí)刻到達(dá)虛線位置的粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)在t=2T時(shí)刻到達(dá)熒光屏上的O點(diǎn)；
（5）以后重復(fù)，即：t=2kT（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+

1

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)；
t=（2k+

1

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+1）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn)；
t=（2k+1）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+1）T+

T

2

+

L-sin1

v0cos1

（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)Q點(diǎn)；
t=（2k+

3

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+2）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)．
答：
t=2kT（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+

1

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)；
t=（2k+

1

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+1）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)P點(diǎn)；
t=（2k+1）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+1）T+

T

2

+

L-sin1

v0cos1

（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)Q點(diǎn)；
t=（2k+

3

2

）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到虛線位置的粒子，在t=（2k+2）T（k=0，1，2，3，…）時(shí)刻到達(dá)O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是運(yùn)用歸納法分析討論各時(shí)間段內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)情況，難度較大，要有跢的耐心和細(xì)心分析．