Question

如圖所示,遙控電動(dòng)賽車(chē)(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)由靜止出發(fā),經(jīng)過(guò)時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī),賽車(chē)?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道,通過(guò)軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上。已知賽車(chē)在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為車(chē)重的0.5倍,即k==0.5,賽車(chē)的質(zhì)量m=0.4 kg,通電后賽車(chē)的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=2 W工作,軌道AB的長(zhǎng)度L=2 m,圓形軌道的半徑R=0.5 m,空氣阻力可以忽略,取重力加速度g=10 m/s²。某次比賽,要求賽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道,又要在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短。在此條件下,求:

 (1)賽車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程；

(2)賽車(chē)電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間。

Answer 1

【解析】(1)要求賽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道,又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短,則賽車(chē)經(jīng)過(guò)圓軌道P點(diǎn)時(shí)速度最小,此時(shí)賽車(chē)對(duì)軌道的壓力為零,重力提供向心力:

mg=                                                                       (3分)

賽車(chē)在C點(diǎn)的速度為v_C,由機(jī)械能守恒定律可得:

mg·2R+                                                     (3分)

由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：v_C=5 m/s                              (1分)

設(shè)賽車(chē)在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程為x,由動(dòng)能定理可得：

                                                             (3分)

代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5 m                                                   (1分)

(2)由于豎直圓軌道光滑，由機(jī)械能守恒定律可知：

v_B=v_C=5 m/s

從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由能量守恒定律可得：

Pt=kmgL+                                                             (3分)

代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5 s                                                   (2分)

答案：(1)2.5 m      (2)4.5 s

【總結(jié)提升】與功能關(guān)系相結(jié)合的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析方法

(1)確定研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和做功情況分析，對(duì)于多個(gè)過(guò)程的情形，要分析出在每一個(gè)過(guò)程中的受力和做功情況。

(2)注意不同過(guò)程的銜接,前一個(gè)過(guò)程的末狀態(tài),就是后一個(gè)過(guò)程的初狀態(tài)。

(3)分析每一個(gè)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化情況,機(jī)械能是否守恒,列出每一個(gè)過(guò)程的對(duì)應(yīng)方程。

(4)確定臨界狀態(tài)及特點(diǎn),并列出相應(yīng)的方程。

(5)求解方程并進(jìn)行驗(yàn)證。