Question

（2008?浙江）如圖所示，在坐標系xOy中，過原點的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側有一勻強電場，在第二、三象限內有一勻強磁場，其上邊界與電場邊界重疊，右邊界為y軸，左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里．一帶正電荷q、質量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點射入磁場區(qū)域，并從O點射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v，粒子在磁場內的運動軌跡為紙面內的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的2倍，粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域，經過一段時間后再次離開磁場．已知粒子從A點射入到第二次離開磁場所用時間恰好粒子在磁場中做圓周運動的周期．忽略重力的影響．求：
（1）粒子經過A點時的速度方向和A點到x軸的距離；
（2）勻強電場的大小和方向；
（3）粒子從第二次離開磁場到再次進入電場所用的時間．

Answer 1

分析：（1）結合運動的軌跡圖象，判斷出圓周運動的圓心即兩虛線的交點，再根據洛倫茲力提供向心力，粒子的速度和A到y軸的距離；
（2）粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運動的方向相反，則電場方向必與v相反；根據時間關系求出粒子在電場中運動的時間，進而求出電場的強度和方向；
（3）粒子出磁場后到進入電場是勻速直線運動，根據軌跡圖象，就可以求出從第二次離開磁場到再次進入電場所用的時間．

解答：解：（1）粒子第一次進入磁場時弧的半徑為磁場左右邊界間距的2倍，如圖做運動的軌跡，則圓周運動的圓心即兩虛線的交點．進入磁場時速度必垂直于磁場邊界，由洛倫茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

，
得：R=

mv

qB

，
A點到x軸的距離為：L=R(1-cos30°)=

mv

qB

(1-

3

2

)，
（2）設粒子在磁場中運動的周期為T，則：vT=2πR
所以：T=

2πm

qB

，在磁場中運動的時間為t1=

300

3600

T=

T

12

粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運動的方向相反，則電場方向必與v相反，再次進入磁場時速度方向也與v相反，將向y軸負方向偏轉做圓周運動，運動的軌跡如圖所示：
運動時間為t3=

1200

3600

T=

T

3

，
則在電場中運動的時間為：t2=T-t1-t3=

7T

12

那么在電場中的運動有：-v=v-

qE

m

t₂，
求得：E=

12Bv

7π

（3）粒子出磁場后到進入電場是勻速直線運動，達到電場的距離為PQ=

3

R（如上圖），
所用時間為t4=

3 R

v

=

3 m

qB

答：（1）粒子經過A點時的速度方向平行于X軸，A點到x軸的距離

mv

qB

(1-

3

2

)，
（2）電場方向與v相反，大小

12Bv

7π

；
（3）第二次離開磁場到再次進入電場所用的時間

3 m

qB

．

點評：帶電粒子在磁場中 的運動，正確地畫出運動的軌跡是解題的關鍵，象該題需要兩次畫出不同的軌跡．題目的難度較大．