Question

（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動(dòng)滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均不計(jì)．在動(dòng)滑輪D上，懸掛有砝碼托盤(pán)A，跨過(guò)滑輪組的不可伸長(zhǎng)的輕線的兩端各掛有砝碼2和3．一根用輕線（圖中穿過(guò)彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤(pán)底上，彈簧的下端與托盤(pán)底固連，上端放有砝碼1（兩者未粘連）．已知三個(gè)砝碼和砝碼托盤(pán)的質(zhì)量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l₀，整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)突然燒斷拴住彈簧的輕線，彈簧便伸長(zhǎng)，并推動(dòng)砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，直到砝碼1與彈簧分離．假設(shè)砝碼1在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與托盤(pán)的頂部相碰．求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

設(shè)從燒斷線到砝碼1與彈簧分離經(jīng)歷的時(shí)間為Δt，在這段時(shí)間內(nèi)，各砝碼和砝碼托盤(pán)的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示Δt時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻彈簧的彈力，T表示該時(shí)刻跨過(guò)滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T₀為懸掛托盤(pán)的繩的拉力．因D的質(zhì)量忽略不計(jì)，有

(1)

在時(shí)間Δt內(nèi)任一時(shí)刻，砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，托盤(pán)向下運(yùn)動(dòng)，砝碼2、3則向上升起，但砝碼2、3與托盤(pán)速度的大小是相同的．設(shè)在砝碼1與彈簧分離的時(shí)刻，砝碼1的速度大小為v₁，砝碼2、3與托盤(pán)速度的大小都是v₂，由動(dòng)量定理，有

(2)

(3)

(4)

(5)

式中I_F、I_mg、I_T、分別代表力F、mg、T、T₀在Δt時(shí)間內(nèi)沖量的大小。注意到式(1)，有

(6)

由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得

(7)

在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運(yùn)動(dòng)，下端與托盤(pán)一起向下運(yùn)動(dòng)．以Δl₁表示在Δt時(shí)間內(nèi)彈簧上端向上運(yùn)動(dòng)的距離，Δl₂表示其下端向下運(yùn)動(dòng)的距離．由于在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中任意時(shí)刻，托盤(pán)的速度都為砝碼1的速度的1/3，故有

(8)

另有

(9)

在彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，彈簧彈性勢(shì)能的減少等于系統(tǒng)動(dòng)能和重力勢(shì)能的增加，即有

(10)

由(7)、(8)、(9)、(10) 式得

(11)

砝碼1與彈簧分開(kāi)后，砝碼作上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最大高度經(jīng)歷時(shí)間為t₁，有

(12)

砝碼2、3和托盤(pán)的受力情況如圖2所示，以表示加速度的大小，有

(13)

(14)

(15)

　（16）

由 (14)、(15) 和(16)式得

　 　 　 　 (17)

托盤(pán)的加速度向上，初速度v₂向下，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t₂，托盤(pán)速度變?yōu)榱悖��?/p>

(18)

由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得

(19)

即砝碼1自與彈簧分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間與托盤(pán)自分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間相等．由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)砝碼回到分離位置時(shí)，托盤(pán)亦回到分離位置，即再經(jīng)歷t₁，砝碼與彈簧相遇．題中要求的時(shí)間

(20)

由 (11)、(12)、(20) 式得

(21)