Question

如圖所示，光滑軌道上，小車A、B用輕彈簧連接，將彈簧壓縮后用細繩系在A、B上．然后使A、B以速度v₀沿軌道向右運動，運動中細繩突然斷開，當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時，A的速度剛好為0，已知A、B的質(zhì)量分別為m_A、m_B，且m_A＜m_B，求：
（1）被壓縮的彈簧具有的彈性勢能E_P．
（2）假如在以后的運動過程中，小車B有速度為0的時刻，計算此時刻彈簧具有的彈性勢能EP′，說明這種情況有無可能？

Answer 1

分析：（1）利用系統(tǒng)的動量守恒求出彈簧第一次恢復(fù)自然長度時B物體具有的速度，然后再利用系統(tǒng)機械能守恒得到彈簧具有的彈性勢能；
（2）我們假設(shè)在以后運動過程中有某時刻B的速度為0時，此時A的速度為v_A，此時彈簧的彈性勢能為E_p，仍然利用 動量守恒和機械能守恒列出方程，得到彈簧的彈性勢能的表達式，發(fā)現(xiàn)在m_A＜m_B的條件下彈性勢能小于零，這是不可能的，所以B的速度不能為零．

解答：解：（1）設(shè)彈簧第一次恢復(fù)自然長度時B的速度為v_B，以A、B彈簧為系統(tǒng)動量守恒（m_A+m_B）v₀=m_Bv_B ①
機械能守恒：

1

2

(mA+mB)v02+EP=

1

2

mBvB2  ②
由①、②解得：EP=

mA(mA+mB)

2mB

v02  ③
（2）設(shè)以后運動過程中B的速度為0時，A的速度為v_A，此時彈簧的彈性勢能為EP′，用動量守恒（m_A+m_B）v₀=m_Av_A ④
由機械能守恒得：

1

2

(mA+mB)v02+EP=

1

2

mAvA2+EP′  ⑤
由④、⑤得：EP′=(

(mA+mB)2

2mB

v02-

(mA+mB)2

2mA

v02) ⑥
因為m_A＜m_B，所以EP′＜0，而彈性勢能小于0是不可能的，所以B的速度沒有等于0的時刻．
答：
（1）被壓縮的彈簧具有的彈性勢能E_P為

mA(mA+mB)

2mB

v

2 0

．
（2）假如在以后的運動過程中，小車B有速度為0的時刻，此時刻彈簧具有的彈性勢能EP′為（

(mA+mB)2

2mB

v

2 0

-

(mA+mB)2

2mA

v

2 0

），因為m_A＜m_B，所以EP′＜0，而彈性小于0是不可能的，所以B的速度沒有等于0的時刻．

點評：本題的關(guān)鍵是反復(fù)使用動量守恒和機械能守恒，利用假設(shè)法得到B速度為零是不可能的，這是一道比較困難的題目．