Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的場(chǎng)強(qiáng)為E勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)粒子重力）從y軸上的M點(diǎn)以v₀速度垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成30°角立即射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后通過(guò)y軸上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向與y軸負(fù)方向成60°．求：
（1）ON之間的距離；
（2）在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）粒子在坐標(biāo)軸第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，已知類平拋的初速度v₀，和離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸方向成30°角，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和幾何關(guān)系即可求得ON之間的距離；
（2）根據(jù)初速度可以求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度v，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出矩形磁場(chǎng)兩個(gè)邊界的最小值，根據(jù)面積公式即可求解．

解答：解：（1）粒子在坐標(biāo)軸第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系得：

vy

v0

=tan30°…①
沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則v_y=at…②
根據(jù)牛頓第二定律得：
qE=ma…③
垂直電場(chǎng)方向有：s_ON=v₀t…④
由①②③④解得：sON=

3 m v 2 0

3Eq

…⑤
（2）根據(jù)幾何關(guān)系得：
v=

v0

cos30°

…⑥
洛倫茲力提供向心力得：
qvB=

mv2

r

…⑦
由⑥⑦解得：r=

2m v   0

3 qB

…⑧
（3）磁場(chǎng)的區(qū)域的一邊長(zhǎng)l1=r-rcos60°=

r

2

另一邊長(zhǎng)l2=2rsin60°=

3

r
所以面積S=l₁l₂=

2 3 m2v02

3q2B2

答：（1）ON之間的距離為

3 m v 2 0

3Eq

；
（2）在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

2m v   0

3 qB

；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為

2 3 m2v02

3q2B2

．

點(diǎn)評(píng)：掌握平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法并能運(yùn)用到類平拋運(yùn)動(dòng)中，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能正確的畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．